外文翻译|证明的起源

英文：https://plus.maths.org/content/os/issue7/features/proof1/index

证明是什么？几个世纪以来，哲学家们一直在争论这个问题，以及如何证明(还有是否能证明！)。毫无疑问，他们会继续这样做！另一方面，数学家们一直在使用证明的“可操作性定义”来促进数学知识的发展。
从本期开始，Pass Maths会发表一系列文章，介绍证明和逻辑推理背后的一些基本概念，并展示它们在数学中的重要性。
在这篇文章中，我们将简要介绍演绎推理，并看一看已知的最早的数学证明例子之一。

演绎推理

给出一组已知或假设为真的事实，演绎推理是扩展这组事实的一种强有力的方式。在演绎推理中，我们认为如果某些前提(P)是已知或假设的，那么结论(C)必然由此而来。例如，给定以下内容(相当有名！)作为前提。

P: 所有的男人都是凡人。
P: 苏格拉底是个男人。

那么结论就是

C: 苏格拉底是凡人。

通过演绎推理得出结论。在这种情况下，演绎步骤是基于这样的逻辑原则：如果A推导出B，并且A是真的，那么B就是真的，这一原则被中世纪逻辑学家称为modus ponens。
当然，演绎推理也不是万无一失的：前提可能不是真的，或者推理路线本身可能是错的！这就是你有时可以“证明”一些不真实的事情的方式。例如，有许多方法可以“证明”1=2。这是一句老生常谈的话：

你能找出论点中的矛盾吗？
如果一个结论不是从它的前提得出的，那么这个论点就被是无效的，无论前提是不是正确的，都不能对结论是否真实做出可靠的判断。
如果论点是有效的，但前提不为真，那么结论可能是真的，也可能不是，但论点不能帮助我们决定这一点。
最后，如果论证有效，前提为真，那么论证过程就是合理的，我们认为结论是正确的。从实用的角度来看，如果我们能找到合理的论据，就可以说我们已经证明了一件事。
表1总结了这些不同类型的演绎论点，表2提供了每种论点的示例。

表1：不同类型的逻辑概念。

一些逻辑论证的例子

正如表2中的两个无效例子所表明的那样，无效条件的结论不一定是假的——它只是没有被必要条件证明而已！

开端：欧氏几何

欧几里得生于公元前365年左右的埃及亚历山大，死于公元前300年左右。除了他在亚历山大教数学之外，人们对他的一生知之甚少。

欧几里德写了许多论文，但最著名的是他的《原本》，这部关于几何学的著作已经被用作教科书超过2000年了！这些元素现在被认为是对他那个时代当前几何知识的总结，而不是代表欧几里德的原著。然而，它们代表了数学史上最早使用证明的方法之一。

欧几里得在他的著作《原本》中，首先列出了23个定义，描述了点、线、平面、圆、钝角和锐角等事物(在这里，这些定义在附录中给出)。

欧几里德的定义既不是正确的，也不是错误的：他们只是充当一种字典，解释他将使用的各种术语的含义。然后，他提出了一组假设，其中包括是个命题。其中有五个不是特定于几何学的，他称它们为常见概念：

• 1. 等同于同一事物的事物也是彼此相等的。


• 2. 如果两种对等的事物相加，则整体也相等。


• 3. 如果两种对等的事物相减，则整体也相等。


• 4. .所有全等的事物都是相等的。


• 5. 整体大于局部。

其他五个假设都是明确的几何假设，他称它们为假设：

• 1. 从任何一点到任何一点都可以画一条直线。


• 2. 可以在一条直线上连续产生一条有限直线。


• 3. 可以描述具有任意圆心和距离的圆。


• 4. 所有直角都相等。


• 5. 如果一条直线落在两条直线上，使同一侧的内角小于两个直角，则这两条直线如果无限期地产生，则在其角度小于两个直角的那一边相交。

(请注意，Playfair的公理(最初是由于Proclus)所说的“过一个不在给定线上的点，平行于这条线的线不超过一条”是表达假设5的一种相当整洁的方式！此外，在十九世纪，勒让德继续证明了假设5等同于“三角形的角之和等于两个直角”的假设)。

这些共同的概念和假设共同代表了欧几里得几何学的基本公理。公理是一种假设为真而不是被证明的逻辑原理，可以作为演绎论证的前提。

欧几里得的一套公理，或公理系统，代表了一组“第一原则”，从这些原则中可以使用演绎推理产生其他原则。当然，只有在欧几里得的共同概念和假设真的成立的情况下，任何演绎论证才是合理的！

一个命题及其证明

欧几里得在他的基本原理中提出了各种几何命题，并在他的公理系统中使用演绎推理证明了这些命题是正确的。
命题6就是一个例子：“如果三角形中的两个角相等，那么两个角相交的边长也是相等的。”
欧几里得对这一命题的实际证明如下：

图1：欧几里德的命题6。，

“设三角形ABC的三个角大小分别为A，B，C；我令AB等于AC，如果他们不等，则必然有其中一个更大。我们让AB作为其中更大的一方，让DB等于AB中切除等于AC剩余部分的长度；最后连接DC。

之后，由于DB等于AC，并且BC是公共边，所以边DB、边BC分别等于边AC、边CB，并且∠DBC等于∠ACB。

因此，底边DC等于底边AB，而三角形DBC等于三角形ACB，小三角形等于大三角形，这是荒谬的。因此，AB不等于AC的结论是荒谬的。所以由反证法，AB等于AC

如果你有一个支持Java的浏览器，你可以在这里尝试一下这幅图的动态版本。

欧几里得的假设是真的吗？

欧几里得时代的希腊人和后来的阿拉伯数学家都有一种直觉，即第五个公设实际上可以用定义和常见概念以及前四个公设来证明。

人们曾多次尝试以这种方式证明第五个假设，通常推定的证明会被接受很长一段时间，然后才会被证明是有缺陷的。通常情况下，这些有缺陷的证明包含一个“循环论证”：为了证明这一点，他们以这样或那样的方式假定他们试图证明的东西(第五个假设)是真的！

事实上，第五个假设并不是完全可以从其他假设和概念中推导出来的，也不是普遍成立的。几个世纪以来，数学家们一直对第五个公设着迷，但直到十九世纪和二十世纪(通过许多著名数学家的努力，包括勒让德、高斯、博莱伊、罗巴切夫斯基、黎曼、贝尔特拉米和克莱因)，我们才了解到第五个公设不成立的几何(称为非欧几里德几何)。

第五个假设在平面几何(或欧几里得几何)中可以证明是正确的。然而，还有许多其他几何不是正确的。令人惊讶的是，这很容易说明！考虑球面的简单情况。

在球面上画一条真正的直线是不可能的，所以在球面几何中，直线的欧几里得思想变成了一个大圆。想想地球，任何一条经线都是一个大圆——赤道也是如此。事实上，球面上任意两点之间的最短路径是一个大圆。(更一般地，任何曲面上的最小路径称为测地线。)。

欧几里得的前四个假设的结果之一是，如果两条不同的线相交，它们会在一个点相交。这给球体带来了一个小问题，因为截然不同的大圆圈总是在两个对脚点相交！北极和南极的两条经线总是相交的！

但请记住，我们还没有说过欧几里得点的近似球面是什么！我们所要做的就是将球面几何中的一个点定义为一对对角点，问题很快就会消失。

根据欧几里得第23号的定义，“平行直线是在同一平面上，在两个方向上无限期地产生，在任何一个方向上都不相交的直线”。

根据这些定义，很容易看出欧几里得的前四个假设仍然很有意义。然而，第五个假设失败了，因为不可能画出两条不相交的不同线。在球面几何学中，几乎没有平行线！

第五个假设失败的后果之一是，三角形的角的和总是180度的说法不再正确。

事实上，有一个著名的横向思维难题，它隐含地依赖于这个非欧几里得几何学：

一天早晨，一个猎人离开家，向南走了一英里。然后，他向西走了一英里，射杀了一只熊，然后向北走了一英里，回到了他家。

熊是什么颜色的?

欧几里得与演绎推理

欧几里得几何的故事，以及随后非欧几里得几何的发现，显示了使用公理演绎推理作为证明系统的优点和缺点。

欧几里得把他的定义、普通概念和公设作为一个公理系统，能够给出一些重要几何命题的演绎证明。他的公理和证明对后来的许多数学家来说是一套有用的工具，并展示了演绎推理是多么强大和有益！

然而，发现非欧几里得几何的漫长而痛苦的过程显示了公理系统中演绎推理的局限性之一：任何证明都取决于它开始的公理！在欧几里得平面上，欧几里得的第五个假设是正确的，他的有效证明是可靠的。然而，在非欧几里得几何中，例如球面，第五个假设并不完全正确，因此欧几里得的证明是不可靠的。